Astronomische Koordinatensysteme (3): Koordinaten und Ortsvektoren

Bevor es um nun letztlich um astronomische Koordinatensysteme geht, gibt es noch eine kleine Auffrischung vom Schulstoff über kartesische Koordinaten, Polarkoordinaten und Ortsvektoren. Ortsvektoren deshalb, weil ich in einem späteren Blogartikel die Umrechnung verschiedener astronomischer Koordinatensysteme mithilfe dieser Vektoren zeigen möchte. Bei wem aber Sinus, Kosinus, kartesische Koordinaten und Polarkoordinaten keine Fragezeichen auf die Stirn hinterlassen und wer noch weiß, was ein Vektor ist, kann auch gut und gerne diesen Teil 3 überspringen und direkt mit dem Artikel zum Horizontsystem weitermachen.

Mit oder ohne Mathe?

Ich bin mir durchaus bewusst, dass nicht jeder eine Affinität zur Mathematik hat und es Menschen gibt, die froh über jede Formel sind, die sie nicht lesen müssen. Auch diese Leser können gerne diesen Artikel überspringen. Ab Teil 4 der Serie werde ich – zumindest was die Erklärung der astronomischen Koordinatensysteme angeht – die Artikel in zwei Teile aufsplitten. Einen nichtmathematischen Teil und einen mathematischen. In Teil eins wird es jeweils um eine reine Beschreibung der Koordinatensysteme sowie deren Bezugspunkte gehen. Die Frage, welche Angaben benötigt werden, um ein Gestirn auf Basis des jeweiligen Koordinatensystems zu beschreiben, steht im Vordergrund. Im zweiten Teil wird es dann um die jeweiligen Ortsvektoren des jeweiligen Koordinatensystems gehen. Dieser Teil beinhaltet jeweils Formeln und etwas mehr Mathematik und ist dann für die Leserinnen und Leser interessant, die später beispielsweise auch beim Artikel zu Koordinatenumrechnungen noch folgen möchten.

Kartesische Koordinaten

Das sogenannte “kartesische Koordinatensystem” ist uns schon aus der Schulzeit gut als x,y- oder als x,y,z-Koordinatensystem in Erinnerung. Im 2-dimensionalen besteht dieses Koordinatensystem aus der x- und der y-Achse, wobei beide im rechten Winkel (orthogonal) zueinander in einer Ebene angeordnet sind.

Um z.B. einen Punkt P mit x=3 und y=2 in solch einem Koordinatensystem zu verorten, geht man auf der x-Achse 3 Einheiten nach rechts und dann senkrecht dazu auf der y-Achse nochmal 2 Einheiten (Abb. 1) nach oben. Dieses Vorgehen ist recht intuitiv und uns wohl allen noch gut geläufig.

Abb. 1: Der Punkt P(3/2) im x,y-Koordinatensystem

Wechseln wir von einem 2-dimensionalen x,y-Koordinatensystem in ein 3-dimensionales x,y,z-System, dann kommt eine dritte Achse hinzu und das Koordinatensystem wird räumlich. Die dritte Achse steht rechtwinkelig auf den anderen beiden Achsen. Ein Punkt P mit den Koordinaten x=2, y=3 und z=3 wird analog zum 2-D Koordinatensystem wieder durch Abtragen der einzelnen Beträge auf den jeweiligen Achsen im Koordinatensystem verortet (Abb. 2). (z-Wert grün, y-Wert blau und x-Wert rot).

Abb. 2: Punkt P in einem 3-D Koordinatensystem

Polarkoordinaten

In einem 2-dimensionalen Koordinatensystem kann man die Lage eines Punktes anstatt mit Beträgen auf den x- und y-Achsen auch über die Angabe eines Winkels und der Länge einer Geraden angeben. So kann man beispielsweise den Punkt P(3/2) aus Abb. 1 auch über eine Gerade darstellen, die mit der x-Achse den Winkel phi bildet und eine Länge von r hat (grüne Linie in Abb. 3).

Abb. 3: P(3/2) in Polarkoordinaten

Entsprechend lässt sich ein Punkt P in einem 3-dimensionalen Koordinatensystem über 2 Winkel und die Länge der Geraden darstellen (Abb. 4).

Abb. 4: Polarkoordinaten im 3-dimensionalen Koordinatensystem

Die Gerade mit der Länge “r” wird um den Winkel “phi” von der x-Achse weg zur z-Achse bewegt und dann um den Winkel “theta” aus der x,z-Ebene nach oben geschwenkt.

Polarkoordinaten bieten sich immer da an, wo es um Kreise und Kreisbewegungen geht. Also auch für die Beschreibung von Vorgängen an der Himmelskugel. Oftmals lassen sich damit Bewegungen und Ortsangaben wesentlich praktikabler beschreiben.

Transformation von kartesischen und Polarkoordinaten

Nun zu der Frage, wie man Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten umrechnen kann oder halt umgekehrt. Wenn man sich die Grafik in Abb. 3 genau anschaut, dann ist offensichtlich, dass wir es mit einem rechtwinkeligen Dreieck zu tun haben. Bei diesem Dreieck ist “r” die Hypotenuse und die Beträge der x- und y-Anteile sind die Katheten dieses rechtwinkeligen Dreiecks. In diesem Dreieck gilt dann natürlich der Satz des Pythagoras und damit:

Über die Winkelfunktionen gilt darüber hinaus:

Ähnlich lassen sich auch die Zusammenhänge für den Fall im 3-dimensionalen Raum aus Abb. 4 finden. Auch hier haben wir rechtwinkelige Dreiecke und können mit dem Satz des Pythagoras sowie den Winkelfunktionen ans Ziel kommen. Dazu modifizieren wir Abb. 4 ganz kurz und arbeiten zur besseren Visualisierung mit Abb. 5 weiter.

Abb. 5: Ausschnitt aus Abb. 4 – leicht modifiziert

Gehen wir davon aus, wir hätten die Polarkoordinaten und möchten kartesische Koordinaten. Die Hypotenuse des senkrecht stehenden Dreiecks ist uns bekannt, es ist die Gerade “r”. Deshalb können wir den Wert für y direkt berechnen mit:

Für die Berechnung der x- und y-Werte brauchen wir aber den Betrag der roten Linie. Diese rote Linie ist im waagerecht liegenden Dreieck die Hypotenuse und wir benötigen sie, um weiter rechnen zu können. Die rote Linie “b” können wir leicht aus den senkrecht stehenden Dreieck mit “r” als Hypotenuse berechnen:

Jetzt können wir die Werte der x- und y-Komponenten berechnen:

Das alles wieder über die Konstruktion rechtwinkeliger Dreiecke. Mit diesem Vorgehen lassen sich beliebig Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten oder auch umgekehrt umrechnen. Transformationen wie diese werden wir nutzen, um Ortsvektoren für unsere astronomischen Koordinatensysteme zu definieren.

Ortsvektoren

Bei den astronomischen Koordinatensystemen werde ich öfter den Begriff des “Ortsvektors” benutzen. Dies ist ein Vektor, der vom Ursprung eines 3-dimensionalen, kartesischen Koordinatensystems P(0/0/0) auf einen zweiten Punkt P(x/y/z) zeigt. Ich werde dazu die Spaltenschreibweise benutzten und die x,y,z-Koordinaten untereinander schreiben. Ein Vektor “r” vom Ursprung auf dem Punkt P(0/0/0) würde dann so geschrieben:

Der Pfeil über dem Buchstaben “r” macht deutlich, dass ein Vektor gemeint ist. Grafisch handelt es sich bei diesem Beispiel um eine Gerade von Punkt P(0/0/0) zum Punkt P(x/y/z). Nicht mehr und nicht weniger. Der Ortsvektor aus der Transformation von den 3-dimensionalen Polarkoordinaten aus Abb. 5 würde in dieser Schreibweise lauten:

Das mag auf den ersten Blick umständlich wirken, bringt aber Vorteile mit sich, wenn es später darum geht, Koordinaten durch Rotation einer Achse des Koordinatensystems in andere zu überführen.

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Eine Antwort

  1. 17. August 2020

    […] So, nun aber genug Ekliptik. Im nächsten Artikel dieser Serie schauen wir uns noch ein paar Grundlagen zu Koordinatensystem im Allgemeinen an, bis es dann endlich das erste Mal wirklich um astronomische Koordinatensysteme gehen wird. Weiter zu Teil 3 geht es hier. […]

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