Winkelmaße in der Astronomie

Ich bin schon mittendrin in meiner kleinen Serie zu astronomischen Koordinatensystemen und habe dort schon des Öfteren mit Winkeln gerechnet. Was ich dort bisher versäumt habe ist darauf einzugehen, wie Winkel in der Astronomie überhaupt angegeben werden. Denn es gibt verschiedene, sogenannte Winkelmaße. Anstatt nun diesen Artikel noch irgendwie in die Serie einzubauen habe ich mich dazu entschlossen, einen eigenen Artikel daraus zu machen und in Teil 1 der Koordinatensystem-Serie nur hierhin zu verlinken.

Warum verschiedene Winkelmaße?

In der Astronomie gibt es ganz verschiedene Arten, die Größe eines Winkels anzugeben. Lustigerweise ist es sogar so, dass bei manchen Koordinaten die eine Koordinate mit einem bestimmten Winkelmaß und die zweite Koordinate mit einem andern Winkelmaß angegeben wird. Klingt paradox? Ist aber so. Warum tut man dies?

In der Regel, weil es für die jeweilige Fragestellung Vorteile mit sich bringt. So ist es üblich, Winkel die im Laufe eines Tages einmal einen Vollkreis beschreiben mit einem Winkelmaß anzugeben, welches einen zeitlichen Bezug hat. Andere Winkel werden wiederum im Gradmaß angegeben wie es uns aus der Schulzeit bekannt ist etc.
Aber am besten starten wir einfach einmal.

Winkel im Bogenmaß

In der Physik das sogenannte “Bogenmaß” ein oft verwendetes Winkelmaß. Betrachtet man einen Kreis, dessen Mittelpunkt im Koordinatenursprung eines kartesischen Koordinatensystems liegt, dann gehört zu jedem Winkel “phi” bei einem gegebenen Radius “r” ein Kreisbogen der Länge “s” (Abb. 1).

Abb. 1: Winkel i Bogenmaß

Dabei ist es so, dass das Verhältnis aus Kreisbogen “s” zu Radius “r” für einen Winkel spezifisch und damit definierend ist. Im Bogenmaß wird deshalb ein Winkel nur als Verhältnis von Kreisbogen zu Radius angegeben:

Dabei steht sowohl im Zähler als auch im Nenner eine Strecke und der Winkel hat die Einheit Meter/Meter [m/m]. Als Hilfseinheit wird hier der “Radiant” [rad] verwendet, wobei gilt “1 rad = 1”. Die Einheit “Radiant” kennzeichnet demnach eine Größe nur als Winkel im Bogenmaß und wird bei Rechnungen nicht weiter betrachtet.

Ein Vollkreis im Bogenmaß ergibt sich aus der Formel für den Kreisumfang, schließlich beträgt die Strecke “s” bei einem vollen Kreis

Und somit gilt für das Verhältnis s/r bei einem vollen Kreis:

Winkel im dezimalen Gradmaß

Das dezimale Gradmaß ist uns wohl allen aus der Schulzeit bekannt. Hier hat ein voller Kreis 360° und ist in einzelne Grade unterteilt. Ein Viertelkreis hat 90°m ein Halbkreis 180° etc.

Zumindest bei mir in der Schule war es völlig normal, Bruchteile eines Grads mit Nachkommastellen anzugeben also z.B. a = 5,346°. Dies ist das dezimale Gradmaß oder auch Dezimalgrad genannt. Es ist uns deshalb so gut geläufig, weil dies in der Regel den Angaben entspricht, mit denen unser Taschenrechner seinerzeit die Ergebnisse der Übungsaufgaben ausgespuckt hat. So gesehen ist dieses Gradmaß für die meisten wohl auch das intuitivste Maß.

Winkel im astronomischen Gradmaß

In der Astronomie wird ebenfalls oft mit dem Gradmaß gearbeitet. Hier hat ein Vollkreis wiederum 360°, jedoch werden die Bruchteile eines Grades nicht einfach dezimal mit Nachkommastellen angegeben, sondern in Bogenminuten und Bogensekunden. Hat man das erste Mal mit solchen Winkelangaben zu tun, dann mutet das recht komisch an, ist aber schnell erklärt.

Pflücken wir mal eine Gradangabe wie die Folgende auseinander:

a = 15° 37′ 6.072″

Diese Angabe bedeutet gelesen, dass der Winkel “a” eine Größe von 15 Grad, 37 Bogenminuten und 6,072 Bogensekunden hat (Bruchteile von Bogensekunden werden wieder mit dezimalen Nachkommastellen angegeben).

Hierbei ist es nun so, dass eine Bogenminute der sechzigste Teil (1/60) eines Grades ist und eine Bogensekunde wiederum der sechzigste Teil (1/60) einer Bogenminute oder halt der dreitausendsechshunderste Teil (1/3600) eines Grades. That’s it.

Winkel im Zeitmaß

Wäre es nicht langweilig, wenn es das schon gewesen wäre? Eben! In der Astronomie ist es auch noch üblich, Winkel im Zeitmaß anzugeben. Das kommt daher, dass wir es oft mit Rotationen zu tun haben, die zeitlich konstant sind. Auf der Erde sind dies oft 24h für einen Vollkreis. Und genau so wird gemessen. Ein voller Kreis entspricht 24 Stunden (24h) und wird feiner unterteilt in Minuten und Sekunden.

Bei Winkeln im Zeitmaß lauern noch zwei potenzielle Fehlerquellen:

  1. Verwechselung mit dem Gradmaß:
    Eine Angabe von 5° 27′ 8.3″ ist ein Winkel im Gradmaß und ein Winkel von 2h 27m 8.3s entspricht Zeitmaß. Das sind völlig unterschiedliche Winkel. Mehr dazu erfährst du im nächsten Abschnitt zu Umrechnungen der Winkelmaße.
  2. Nicht definierte 24 Stunden
    Es gibt zwei unterschiedliche Bezugspunkte dafür, was “24 Stunden” sind. Betrachtet man unseren mittleren Sonnentag (den mittleren Umlauf der Sonne am Firmament), dann ist ein Vollkreis mit 24h = 24h unserer Zeitmessung. Nimmt man als Grundlage den siderischen Tag (mittlerer Umlauf eines Fixsterns am Firmament), dann ist ein Vollkreis mit 24h = 23h 56m 6s unserer herkömmlichen Zeitmessung.

Umrechnung der verschiedenen Winkelmaße

Bogenmaß und Dezimalgrad

Interessant ist abschließend noch die Frage, wie man die ganzen verschiedenen Winkelmaße ineinander umrechnet. Fangen wir an mit der Umrechnung von Bogenmaß in Dezimalgrad. Hier ist ein einfacher Dreisatz möglich. Setzten wir die Angaben für den Vollkreis im Bogenmaß mit dem Vollkreis im Gradmaß gleich, erhalten wir:

und somit gerechnet als Dreisatz:

Über diese simple Beziehung lassen sich beide Winkelangaben gut ineinander umrechnen.

Astronomisches Gradmaß in Dezimalgrad

Bei der Umrechnung des astronomischen Gradmaßes mit Bogenminuten und Bogensekunden in das Dezimalgrad bleibt die Angabe der vollen Grade erhalten. Für die Bogenminute gilt, dass diese 1/60 eines Grades ist und eine Bogensekunde wie oben schon erwähnt 1/60 einer Bogenminute oder 1/3600 eines Grades.
An deutlichsten wird das an einem konkreten Beispiel. Wir wollen nun den Winkel 50° 7′ 34.05″ in Dezimalgrad umrechnen. Hier geht man z.B. wie folgt vor:

In dem Beispiel wurde also so vorgegangen, das zuerst die Bogensekunden durch 60 geteilt wurden um Bogenminuten zu erhalten. Diese wurden zu den 7′ addiert. Die neue Angabe der Bogenminuten wurde dann wiederum durch 60 geteilt, um den Bruchteil eines Grades zu erhalten.

Bei der Umrechnung von Dezimalgrad in Bogenminuten und Bogensekunden geht man genau anders herum vor. Zuerst wird der Nachkommaanteil (0,126125°) mit 60 multipliziert und man erhält 7,5675 Bogenminuten. Der Nachkommaanteil dieser Angabe wird dann nochmals mit 60 multipliziert, um die Angabe für die Bogensekunden zu erhalten.

Zeitmaß in Dezimalgrad

Als letzte Umrechnung von Winkelmaßen soll die Umrechnung zwischen Zeitmaß und Dezimalgrad vorgestellt werden. Diese ist hier und da schon einmal nützlich, da einige Koordinate wie die sogenannte Rektaszension oder die ekliptikale Länge für gewöhnlich im Zeitmaß angegeben werden. Auch die “Sternzeit” ist letztendlich ein Winkel im Zeitmaß.

Um einen Ansatz für eine Umrechnung zu finden, erinnert man sich der Tatsache, dass ein Vollkreis in Gradangaben 360° beträgt und im Zeitmaß 24h. Ein Winkel von einer Stunde entspricht demnach:

Mit diesem Zusammenhang (1h = 15°) lässt sich sofort eine dezimale Zeitangabe in Dezimalgrad umrechnen. Die Umrechnung von Minuten und Sekunden in dezimale Zeitangaben geht dann wieder mit Multiplikation und Division mit 60.

Winkel-Wirrwarr

Ja, in der Astronomie herrscht zum teil ein Wirrwarr an Winkelmaßen. Wenn man mal in die Verlegenheit kommt, Winkelmaße ineinander umzurechnen, dann hat man es meist mit einem der oben aufgeführten Maße zu tun. Um nicht auf das Auswendiglernen von Formeln angewiesen zu sein ist es ratsam, vor einer solchen Umrechnung einfach die Angaben eines Vollkreises im jeweiligen Winkelmaß mit den zweiten gleichzusetzen. Also z.B. 24h = 360°, etc.
Das weitere Vorgehen erschließt sich dann meinst intuitiv, zumindest mit ein bisschen Übung. Und wenn die Übung fehlt, lest sonst einfach nochmal hier im Blog oder auf den zahlreichen Quellen im Netz quer.
Clear Skies!

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Eine Antwort

  1. 17. September 2020

    […] Winkelmaße in der Astronomie […]

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