Welchen Himmelsausschnitt fotografiert meine Kamera durchs Teleskop?

Die Frage, welchen Himmelsausschnitt man bei der Astrofotografie auf dem Kamerasensor abbilden kann, ist essenziell für die Planung von Aufnahmen. Ebenfalls von hohem Interesse ist die Frage, wie viele Pixel nachher mein Zielobjekt – z.B. eine Galaxie – auf dem fertigen Bild einnimmt. Sind es 1000 x 800 Pixel lohnt sich eine Aufnahme, bei 110 x 70 Pixeln sollte man vielleicht auf ein anderes Ziel ausweichen. Beide Fragestellungen hängen miteinander zusammen. Wie man hier schnell zu praxistauglichen Ergebnissen kommt, darum geht es im heutigen Beitrag.

Stellarium & Co.

Ja, auch mir ist natürlich bekannt, dass moderne Software wie beispielsweise Stellarium nach der Konfiguration von Teleskop und Kamera den Himmelsausschnitt simulieren kann, den man durch das Teleskop mit der Kamera aufnehmen würde. Auch ich nutze das natürlich als einfache und komfortable Möglichkeit um Aufnahmen unkompliziert zu planen (Abb. 1). Zudem bekommt man so zu einer schnellen, visuellen Einschätzung.

Abb. 1: Planung des Fotos mit Stellarium (www.stellarium.org)

Trotzdem gibt es Situationen, bei denen man beispielsweise die Größe eines Objektes auf einem fertigen Bild selber berechnen muss. Sei es um schlicht die Zahlen zu sehen oder auch, weil ein Objekt gar nicht in der Datenbank der Software ausreichend detailliert hinterlegt ist. So kann man sich nach Import in Stellarium z.B. aktuelle Kometen anzeigen lassen, die Größe lässt sich aber nicht erkennen. Solche Objekte oder auch kleinere Deep-Sky Objekte sind in der Software lediglich mit den Koordinaten hinterlegt. Um abzuschätzen, wie groß ein solches Objekt auf einem fertigen Bild sein wird, muss man selber rechnen. Hierzu reicht aber zum Glück ein bisschen Trigonometrie aus der Schulzeit.

Welcher Himmelsausschnitt passt auf den Sensor?

Himmelsausschnitte werden üblicherweise als Winkel im Gradmaß mit Grad, Bogenminuten und Bogensekunden angegeben (mehr Informationen dazu finden sich im Artikel “Winkelmaße“). Es geht also um Winkel und um die Frage, welchen Winkel am Himmel man auf der langen sowie auf der kurzen Seite des Sensors abbilden kann. Bei der grundlegenden Überlegung hilft dabei folgende Skizze:

Abb. 2: Hilfsskizze zur Berechnung des fotografierbaren Himmelsausschnitts

Hierzu stellt man sich das Teleskop als einfache Linse mit der Brennweite “f” vor (blaue Strecke). Vielleicht erinnert sich der ein oder andere noch – in der abbildenden Linsenoptik gibt es sogenannte “Konstruktionsstrahlen“, mit deren Hilfe man an einer Linse die Abbildung geometrisch nachvollziehen kann. Eine Variante dieser Konstruktionsstrahlen sind Mittelpunktstrahlen, die exakt durch die Mitte der Linse laufen und nicht gebrochen werden. Solche Mittelpunktstrahlen ausgehend von den äußeren Rändern des Sensors sind in Abb. 2 eingezeichnet. Durch diese Strahlen wird auf der linken Seite der Linse ausgehend von der optischen Achse (grau) ein Winkel “alpha” definiert. Der gesamte Himmelsausschnitt, den der Sensor aufnehmen kann, entspricht zweimal diesem Winkel alpha.

Aus Abbildung 2 wird ebenfalls deutlich, dass man aus der halben Breite des Sensors (b/2) und der Brennweite “f” ein rechtwinkeliges Dreieck konstruieren kann. Die Winkel alpha und alpha’ sind darüber hinaus identisch. Da der Tangens eines Winkels die Gegenkathete dividiert durch die Ankathete ist, gilt:

und damit für den Winkel alpha’ :

Der gesamte Himmelsausschnitt wäre dann der doppelte Wert von alpha’, da wir bisher nur eine Seite der optischen Achse berechnet haben:

Über diese Formel lässt sich jetzt für einen Sensor bei bekannter Sensorbreite “b” in mm (oder der Höhe “h”) für ein gegebenes Teleskop mit der Brennweite “f” in mm der Winkel des Himmelsausschnitts berechnen.

Ein kleines Beispiel

Machen wir dazu ein kleines Beispiel. Stellarium gibt für meine EOS 6D an einem 750 mm Teleskop einen Bildausschnitt von 2°44,06′ x 1°49,54′ an (Abb. 3).

Abb. 3: Daten für die 6D am 750mm Teleskop

Der Kleinbildsensor der 6D hat in etwa die Maße 36,0 x 24,0 mm (b x h). Nehmen wir die oben hergeleitete Formel, dann ergibt das über die Breite des Sensors “b” einen Bildausschnitt von:

und entsprechend für die Höhe “h”:

Bis auf eine geringe Abweichung durch die Rundung stimmen diese Ergebnisse sehr gut mit den Werten aus der Software Stellarium überein.

Wie viel Pixel hat ein fotografiertes Objekt?

Manchmal ist es interessant zu wissen, wie viele Pixel ein anvisiertes Objekt später auf dem endgültigen Foto haben wird. Dazu benötigt man am besten die Angabe, welcher Winkelausschnitt des Himmels in Bogensekunden pro Pixel dargestellt wird. Das lässt sich am elegantesten über zwei verschiedene Wege herausfinden:

a) über die Bildgröße und den Himmelsausschnitt

Den Himmelsausschnitt in Grad, den ein Sensor aufnehmen kann, haben wir oben schon berechnet. Am Beispiel der 6D am 750 mm Spiegelteleskop war das ein Ausschnitt von 2°45′ x 1°50′. Mit der Kenntnis, wie viele Pixel eine Bilddatei der Kamera hat, lässt sich sofort berechnen, wie viel Bogensekunden pro Pixel dargestellt werden. Eine RAW-Datei der 6D hat die Abmessungen 5472 x 3648 Pixel. Wandelt man die 2°45′ in Bogensekunden [“] um und dividieren diesen Winkel durch die Anzahl der Pixel der langen Bildkante, dann erhält man:

Das stimmt ziemlich genau mit den 1,799″/px überein, die Stellarium für diese Kombination von Teleskop und Kamera berechnet (Abb. 3).

b) über die Brennweite und die Pixelgröße

Eine weitere Variante ohne den Zwischenweg über den Bildausschnitt ist die direkte Berechnung aus Brennweite des Teleskops und Pixelgröße der Kamera. Zur Erklärung dient folgende Skizze:

Abb. 4: Berechnung mit der Brennweite “f” und der Pixelbreite “b”

Wenn man den Winkel im Bogenmaß berechnet (Radiant), dann gilt für die Beziehung aus Winkel alpha, Brennweite “f” und dem Kreissegment “s” der Zusammenhang:

Wenn das Kreissegment sehr klein gegenüber dem Radius ist, dann ist Kreissegment “s” annähernd eine Gerade. Die Pixel moderner Kameras liegen im Mikrometerbereich (µm), währen die Brennweite der Teleskope im Millimeterbereich (mm) liegt. Somit ist “b” viel kleiner als “f” und wir können näherungsweise schreiben:

Der Quotient d/f ergibt den Winkel alpha im Bogenmaß (Radiant). Die Umrechnung in Grad erfolgt über die Beziehung 180° = pi:

Eine Umrechnung in Bogensekunden erfolgt dann noch über die Tatsache, dass eine Bogensekunde der 1/3600 Teil eines Grades ist:

Diese Gleichung gilt für “d” und “f” in mm. Wird die Pixelgröße “d” wie üblich in µm angegeben, ändert sich der Faktor zu:

Für die 6D (Pixelgröße 6,5 µm) am 750 mm Teleskop ergibt das:

Auch diese Berechnung passt sehr gut und entspricht den Werten aus Stellarium.

Wie groß ist nun das Zielobjekt?

Nachdem nun bekannt ist, wie viel Bogensekunden ein Pixel des Fotos abbildet, ist der Rest schnöder Dreisatz. Will man nun z.B. wissen, wie groß beispielsweise die Galaxie M33 mit der 6D am 750 mm Teleskop auf dem fertigen Bild in etwa sein wird, dann kann man sich bei Wikipedia o.ä. Quellen die Größe des Objekts in Bogensekunden besorgen (Link). Bei Wikipedia wird für M33 eine Größe von 70′ x 40′ angegeben, was (Berücksichtigung vom Faktor 60) dann 4200″ x 2400″ entspricht. Bei 1,8 “/px sind dies in Pixel umgerechnet ca. 2330 x 1330 px. Diese Größe darf man erwarten. Doch passt das nun?

Dazu habe ich mal eine Aufnahme von M33 mit der 6D am 150/750 Newton horizontal ausgerichtet und ausgeschnitten. Hierbei misst das fertige Bild 2177 x 1288 px (Abb. 5).

Abb. 5: Abmessungen des Bildes von M33

Das kommt den berechneten Maßen sehr nahe. Die verbleibenden Abweichungen kommen wahrscheinlich dadurch zustande, dass auf sehr lange belichteten Aufnahmen bzw. auf professionellen Aufnahmen wie durch Hubble etc. die äußeren Spiralarme noch deutlicher zu erkennen sind und weiter in den Raum reichen, während diese bei meiner Aufnahme schon im Himmelshintergrund verschwinden.

Alles in allem passt die Berechnung sehr gut und erlaubt z.B. auch die Abschätzung von Objekten wie Kometen und Objekten, die in Stellarium etc. nicht mit Abbildungen und Bemaßung hinterlegt sind. Hierzu muss man sich lediglich auf einschlägigen Seiten die momentanen Abmessungen der Objekte in Bogensekunden besorgen. Also kann so eine Berechnung selbst in Zeiten von exzellenter Software ihre Berechtigung haben. Und immer wieder finde ich es schön, dass man für die Trigonometrie aus der Schule doch noch eine vernünftige Verwendung hat 🙂

In diesem Sinne .. clear Skies!

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